2012 年辽宁预赛 · 第 16 题

解答

先证明

$n=1$ 时成立。若该式在 $n$ 成立，令 $U=2^n>1$，则 $3a_n=2(U-U^{-1})$，故 $\sqrt{9a_n^2+16}=2(U+U^{-1})$。代入题设得到 $a_{n+1}=\frac{2}{3}(2U-(2U{)}^{-1})$，归纳完成。 又原递推中 $a_n>0$，并且 $\sqrt{9a_n^2+16}>3a_n$，所以 $a_{n+1}>2a_n$。于是 $a_n\ge 2^{n-1}$，从而任意 $N\ge 1$ 都满足