2025 年北京预赛

解答

设 $L=[a,b,c]$。因为 $A$ 同时是 $(A,B)=[a,b]$ 与 $(A,C)=[a,c]$ 的倍数，所以

同理 $L\mid B,C$。于是

而 $(A,B)=[a,b]\le L$，故 $[a,b]=L$。循环可得

写成

由 (1) 及最大公因数条件，$x,y,z$ 两两互素且互不相同，$u,v,w$ 也两两互素且互不相同。于是

令 $D=xy+yz+zx$。由 $x,y,z$ 两两互素，

若式 (2) 为整数，则 $D\mid u+v+w$，故该整数可写为

$x,y,z$ 互不相同，其中至多一个等于 $1$，其余至少两个大于 $1$；它们又两两互素。因此 $k$ 至少含有两个不同的素因子。

反过来，设正整数 $k$ 至少含有两个不同的素因子。可取互素且均大于 $1$ 的整数 $y,z$，使 $yz\mid k$；令

这里 $D\ge 11$。我们需要三个互不相同、两两互素的正整数 $u,v,w$，其和为 $N$。这样的三元组总存在：若 $N$ 为偶数，可取

若$N$为奇数，令$M=N-1\ge 10$。当$4\mid M$时取$v=M/2-1$， 有$(v,M)=(M/2-1,2)=1$；当$M\equiv 2(\mathrm{mod}4)$时取$v=M/2-2$， 有$(v,M)=(M/2-2,4)=1$。两种情形都满足$2\le v<M/2$，取

此时 $u,v,w$ 两两互素且互不相同。

现令

以及 $A=Lu,B=Lv,C=Lw$。则 $a,b,c$ 互不相同，三个两两最小公倍数均为 $L$；$A,B,C$ 互不相同，三个两两最大公因数也均为 $L$。并且由 $u+v+w=tD$，

综上，所有可能整数值恰为

，也就是不是 $1$、也不是素数幂的正整数。