2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷） · 第 11 题

解答

把每个二元组 $(a_i,b_i)$ 记作一个字母，其中

原题的两条条件分别等价于：某位置出现 $X$ 时，它后面的每一项均须满足 $b=0$，它前面的每一项均须满足 $a=1$。

若数组中没有 $X$，两条禁配都不会发生，每个位置可独立取 $U,V,W$，共有 $3^n$ 个。

若至少出现一个 $X$，设首次、末次出现位置为 $r,s$，其中 $1\le r\le s\le n$。 由第 $r$ 个位置是 $X$，其后每项 $b=0$；由第 $s$ 个位置是 $X$，其前每项 $a=1$。 因此在 $r$ 之前的项有 $a=1$ 且不是 $X$，只能为 $V$；在 $s$ 之后的项有 $b=0$ 且不是 $X$，只能为 $W$；介于 $r,s$ 之间的每项同时满足 $a=1,b=0$，只能为 $X$。 故数组必为

反之，上述数组中任意一个 $X$ 的前面均有 $a=1$、后面均有 $b=0$，所以确实满足两条条件。 这样 $(r,s)$ 与含 $X$ 的有趣数组一一对应，其个数为

合并两类，答案为 $\boxed{3^n+\frac{n(n+1)}{2}}$。