培玉 · 一试

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2014 年安徽预赛 · 第 10 题

F3解答题递推数列

设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2} + 3}{2 a _{n}}$ ， $n \geq 1$ 。求证：

(1)
当 $n \geq 2$ 时， $a_{n}$ 严格单调递减；
(2)
当 $n \geq 1$ 时， $a_{n + 1} - 3 = 23 \frac{r ^{2^{n}}}{1 - r ^{2^{n}}}$ ，这里 $r = 2 - 3$ 。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

需区分首项在根下方与其后在根上方的行为，再用交比平方得双指数误差，符号及起点容易错置。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：递推的不变区间与临界值、整体换元并求新变量范围

专题卡：根式和平方型递推：平移配方，或用共轭数控制误差