2013 年山西预赛 · 第 3 题

解答

底边六，底面中心到顶点距离为 $3\sqrt{2}$，故锥高为 $\sqrt{25-18}=\sqrt{7}$，总体积为 $36\sqrt{7}/3=12\sqrt{7}$。四面体 $APBC$ 取底面 $ABC$，其体积为原棱锥的一半，即 $6\sqrt{7}$。对平面 $PBC$，$A,D$ 位于同侧且距离相同，$P$ 在面上；由 $M=(P+A+D)/3$，$M$ 到此平面的距离为 $A$ 的相应高度的 $2/3$。同底三角形 $PBC$ 的体积同比，因此 $\boxed{V_{MPBC}=(2/3)6\sqrt{7}=4\sqrt{7}}$。