2016 年安徽预赛 · 第 5 题

解答

当 $a<0$ 时无解，$a=0$ 时只有零根。若 $a>0$，改写为 $a=H(x)=x^2{e}^{-x}$。在负半轴 $H$ 从正无穷严格降到零，恰有一个负根；在正半轴先增到 $H(2)=4/e^2$，再降到零。因此恰有三个不同实根当且仅当有两个不同正根，所求为 $\boxed{a\in (0,4/e^2)}$。