2012 年中科大少年班初试 · 第 4 题

解答

记 $q=\vec{a}\cdot \vec{e}$，$|\vec{e}|=1$。则

左端最小平方为 $|\vec{a}{|}^2-q^2$。原条件对所有 $t$ 成立，故

于是 $(q+1{)}^2\le 0$，只能 $q=-1$。因此

必有 $\vec{e}\perp (\vec{a}+\vec{e})$，选 $\boxed{\mathrm{C}}$。 反过来，$q=-1$ 时两边平方之差为 $(t+1{)}^2\ge 0$，确满足全称条件。