2020 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 11 题

解答

重排B、C使 $A$ 为直角顶点，$\overrightarrow{AB}=(s,t),\overrightarrow{AC}=(-t,s)$，记 $R=s^2+t^2>0$，面积R/2。设A=(a,b)，ab=1。由B、C也在双曲线上，得到 $at+bs=-st$、$as-bt=st$。解这两个线性方程有 $a=st(s-t)/R,b=-st(s+t)/R$，所以 $s^2{t}^2(t^2-s^2)=R^2$。故st非零且t平方大于s平方。令 $u=(t^2-s^2)/R\in (0,1)$，则 $s^2{t}^2=R^2(1-u^2)/4$，化得 $R=4/[u(1-u^2)]$。在0到1上，$u(1-u^2)$ 最大值为 $2/(3\sqrt{3})$，因导数为 $1-3u^2$，故 $R\ge 6\sqrt{3}$。取 $R=6\sqrt{3},u=1/\sqrt{3}$，即 $s=\sqrt{3\sqrt{3}-3},t=\sqrt{3\sqrt{3}+3}$，再按上式定义a、b，则ab=1且两交点方程成立，三点不同、两边等长垂直，确可达到。最小面积为 $\boxed{3\sqrt{3}}$。