一试训练题

解答

记 $A=\pi x^2,B=\pi y^2$。和差化积得 $\sin \frac{A-B}{2}\left[\sin \frac{A+B}{2}+\cos \frac{A+B}{2}\right]=0$。第一因子为零给出 $x^2-y^2=2k$（$k\in \mathbb{Z}$）；第二因子为零即 $\sin \left(\frac{A+B}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=0$，给出 $x^2+y^2=2k-\frac{1}{2}$，且需 $k\ge 1$。点 $(1,0)\in S$，但此时 $A=\pi ,B=0$，左边为 $0$、右边为 $-2$，故 $(1,0)\notin T$。点 $\left(1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 满足 $x^2+y^2=\frac{3}{2}=2\cdot 1-\frac{1}{2}$，所以属于 $T$；而 $x^2-y^2=\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$，故不属于 $S$。因此 $\boxed{S⊈T,T⊈S}$。