一试训练题

解答

按题意固定不允许右侧较重。四个重量具有“每个较大重量大于全部更小重量之和”的性质，故放置过程中左右差的符号总由已放的最大砝码所在侧决定。设有$n$个满足此性质的砝码时合法过程数为$F_n$。从任一去掉最小砝码后的合法过程恢复：若最小砝码放在最前，只能置左；若插在其他$n-1$个时刻之一，左右任取，都不会改变已有较大砝码决定的符号。反之删除最小砝码不会改变任何已有较大砝码时的合法性。因此$F_n=(1+2(n-1))F_{n-1}$，$F_1=1$。所求$F_4=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7=\boxed{105}$。