培玉 · 一试

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2014 年安徽预赛 · 第 9 题

F2解答题不等式的证明

已知正实数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 1$ 。求证：

\frac{z - y}{x + 2 y} + \frac{x - z}{y + 2 z} + \frac{y - x}{z + 2 x} \geq 0.

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

逐项分子改写为常数减分母，循环分式和转为倒数和后以Cauchy估计并核等号。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：柯西不等式与投影

专题卡：平方和与线性式、分式和互相估计：用柯西不等式