垫脚石（相关题 → 此题） 2016 年陕西预赛 第 3 题 · P009541
先练习把一个单位动向量的二次点积展开为固定方向的投影，再把这种做法用于两个圆上动点的合并：关键是先证明它们的向量和具有固定模长，且取等方向能实现。
前题只有一个单位动向量；后题的两个动向量长度固定且正交，须把它们的和当作新的动向量，另核每个方向可由原两点构造。
培玉 · 一试
2026 年广州预赛
圆上正交向量的数量积最值
F3填空题向量的数量积与几何意义
在 中，，。以 为圆心、 为半径作圆 ， 上两点 满足 。则
的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
以 为原点，把题目全部写成向量。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
已知的两条边长关系先确定 与 ，圆上正交条件则固定 。
解答
记
由 及 ，得
又 且 ，故
于是
取 与 方向相反即可取等号，故最大值为
复核
任给一个长度为 的方向，都可取两条长度为 、夹角为 的向量，使其和 等于该向量。因此数量积不等式的等号方向确能由圆上的 实现。
方法总结
多个形如 的量相加时， 先展开并合并成向量和；固定模长后的线性数量积最值由反向或同向取得。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
以C为原点把四个点积合成18−(e+f)·(a+b)，再从给定边长和正交等模关系分别确定两个向量和的模。
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