2016 年安徽预赛 · 第 11 题

解答

取 $u=(\sqrt{3}a/2,b+a/2)$、$v=(\sqrt{3}a/2,c+a/2)$。两根式分别为 $|u|,|v|$，而 $|u+v|=\sqrt{3a^2+(a+b+c{)}^2}$，向量三角不等式便给所求。当 $a\ne 0$，两第一分量相同且非零，非负同向条件迫使两向量相同，即 $b=c$；这也充分。当 $a=0$，等号退为 $|b|+|c|=|b+c|$，当且仅当 $bc\ge 0$。所以完整等号条件是 $\boxed{b=c\text{或}a=0,bc\ge 0}$。