培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题空间角与距离
在三维空间能否找到五个互不相同的单位向量，使任意两个向量的数量积等于同一个常数？
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
Gram矩阵的秩不能超过空间维数。
解答
若公共数量积为c，则Gram矩阵为(1-c)I+cJ，特征值1-c重复4次，另一个为1+4c。互不相同使c≠1，所以矩阵秩至少4，超过三维空间能容纳的秩，矛盾。 所求为 。
复核
若c=1，单位向量全部相同，正被题设排除。
方法总结
Gram矩阵的秩不能超过空间维数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
Gram矩阵的秩不能超过空间维数。
用到的方法（会透露解法方向）
专题卡：边长恢复数量积与对称坐标
已记下，谢谢！