2018 年河北预赛（高二卷） · 第 11 题

解答

对 $t\ge 0$，有 $t^2-3t+2\sqrt{t}=\sqrt{t}(\sqrt{t}-1{)}^2(\sqrt{t}+2)\ge 0$。分别代入 $a,b,c$ 并求和，结合 $a+b+c=3$ 以及 $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=9$，得 $ab+bc+ca\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$。另一方面，柯西给 $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le \sqrt{3(a+b+c)}=3$。所以 $\boxed{ab+bc+ca\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le 3}$。