2023 年北京预赛

思路

循环下标让连乘比望远镜等于1，因而算术平均至少为1；柯西的分式形式 $\sum u_i^2/v_i\ge (\sum u_i{)}^2/\sum v_i$ 适用于全部v_i>0。

想法从哪来：右边同时有相邻两项和与常数一，直接通分会混合两种不同作用。先去掉常数，把问题拆成“相邻求和不会增大循环比值和”，再证明“全部加同一个非负常数也不会增大”。第一步令相邻比为新变量，比较前后差，循环移项之后恰好出现一组乘积为一的正数，用均值不等式即可。第二步把共同常数变成连续参数，研究比值和随它的导数；取倒数变量后，导数非正正好是柯西不等式的形式。这种分步法也解释了为什么邻项结构和常数必须统一出现，不能逐项比较每一项。

把右侧看成循环比值和在两次平滑后的结果：先把相邻两项相加，再给每项同时加 $1$。分别证明这两种操作都不会增大循环比值和。