同一骨架 2026 年贵州预赛 · P006021
从椭圆内的定点连向一个椭圆点，再取同一直线的另一交点，两题都可用单一参数和根积直接写出变换。先把一个交点记为已知参数，再求另一个，通常比逐个解联立坐标更清楚。
一题把变换用于两段距离比的和，另一题将点变换整体代回弦方程得到新弦；距离绝对值与有向参数不能混同。
培玉 · 一试
2021 年重庆预赛
F4解答题椭圆
在平面直角坐标系中，已知 分别为椭圆
的左、右焦点。设点 为线段 的中点，直线 （不与 轴重合） 过点 且与椭圆 交于 两点，延长 与椭圆 交于 两点。 设直线 的斜率分别为 。将 表示成关于 的函数 ，并求 的值域。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
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想想一道相关的题
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思路
同一直线与椭圆两交点被定点D交换，故形成对合；分式变换可通过直线参数的二次方程根积求得，不必使用射影几何定理。
想法从哪来：两次过同一内点取椭圆另一交点，看似要解四个坐标，其实它们共享同一个点变换。先利用给定中点确定焦距，再沿D到任意椭圆点的直线用一个参数，已知根为一，另一根用韦达写成坐标的分式。这个变换做两次会回到原点，因此反解形式相同；将反解直接代入原弦方程，便整体得到新弦，不必分别求P、Q。最后只读取新弦的斜率系数，取比后割线参数自动消失。求值域时半长轴必须严格大于焦距，边界会使椭圆退化；原题斜率已经要求存在，竖直弦不属于所论比值。
先由中点条件确定焦半距。对椭圆上一点 ，写出直线 上另一交点的分式线性变换，再把整条弦 变到弦 。
解答
设焦半距为 。由 是 的中点知 ，故
设 在椭圆上， 是直线 与椭圆的另一交点。以 参数化直线，利用一个交点对应 及韦达定理，得
该变换是对合，故反解中交换 与 后形式不变。
直线 写成 。把反解代入，得到 的轨迹
这就是直线 。因此
由 ， 严格递减，并分别趋于 和 ，故值域为
复核
不与 轴重合保证 ； 会使 ，故两个端值均不取到。
方法总结
从定点出发的“同射线取另一交点”是射影对合；先求点变换，再整体代入弦方程，比逐个解交点简洁。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须导出过D取另一交点的统一变换并利用对合反解，将原焦点弦的直线约束传到PQ后消掉动斜率。
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