2017 年湖南预赛 · 第 14 题

解答

原式给 $S_{n+1}=S_n-(S_n-1{)}^2/S_n=2-1/S_n$，$S_1=2$。归纳得 $S_n=(n+1)/n>1$，所以 $\boxed{1/(S_n-1)=n}$，它是首项一、公差一的等差数列。第二问在 $n=1$ 时要求 $3\ge k$，故 $k\le 3$。反过来，对每个下标 $S_j+1>2$，因而 ${\prod }_{j=1}^n(S_j+1)\ge 3\cdot 2^{n-1}\ge 3n$；最后一步由归纳式 $2^{n-1}\ge n$ 得到。所以 $k=3$ 对全部正整数都成立，所求为 $\boxed{k_{\max }=3}$。