同一骨架 2024 年内蒙古预赛 · P006556
两题都先给对象找一组参数，再证明每个对象只被描述一次。只有完成这个唯一性检查，按参数累加才等于对不同对象计数或求和。
新运算的结果与递增数列的外形不同，但都要排除“不同参数描述同一对象”的重计。
培玉 · 一试
2021 年浙江预赛
F3填空题集合与简易逻辑
给定实数集合 ，定义运算
设
则 中的所有元素之和为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
恒等式 能把新运算化为乘积。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
但题目问的是集合中所有元素之和，因此求和前必须先证明不同有序对不会产生同一个元素。
解答
对 、，有
其中
先证明这 个值互不相同。设
其中 ，。 若 ，则 两两互素，从而 ；但 ， 矛盾。因此 ，继而 。所以 恰有 个元素。
于是
复核
的任意两数最大公因数均为 ，故互异性证明覆盖了三种跨列情形。 同一列内乘数 也互异，所以没有重复计数。另有 ，算术结果一致。
方法总结
对“由运算生成的集合求和”，应先化简运算，再检查生成表达式是否一一对应。 只有排除重复元素后，才能把集合元素之和改写成对参数对的二重求和。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
求和前须先证30个参数组合无重值，关键是化成(a+1)(b+1)并利用99、100、101两两互素。
联系 · 3 条
易混 2023 年山东预赛 · P006739
看起来都在对两组参数生成的结果做统计，但能否把参数对直接当成不同元素，取决于是否发生碰撞。一题需要实际合并重复结果，另一题必须先证明表示唯一；不能见到两组选择就直接相乘。
两题的运算都含乘法，真正不同的是输入到输出的对应关系。
同一骨架 2025 年上海预赛 · P006370
两题都通过因子之间的互素关系保证一种参数表示不会与另一种表示碰撞。先建立规范而唯一的表示，再把最大项的范围或因子上界转成有限参数范围，最后累加。
整数等比三元组的既约公比，与新运算结果中的互素大因子，承担了相似的去重职责。
已记下，谢谢！