2014 年黑龙江预赛 · 第 3 题

解答

设所取渐近线为 $y=mx$，其中 $m=\pm b/a$，$a,b>0$。 与 $y=x^2+1$ 联立得 $x^2-mx+1=0$。每个实根对应且只对应一个公共点，因此恰有一个公共点等价于

于是 $b^2/a^2=m^2=4$。由双曲线 $c^2=a^2+b^2$，其离心率

选 D。反向代入 $m=\pm 2$，方程分别为 $(x\mp 1{)}^2=0$，确实各只有一个公共点。 图示取 $a=1,b=2$，画出正斜率分支的切点，另一分支由关于 $y$ 轴对称得到。