2024 年北京预赛

解答

由于 $B$ 有 $10=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)$ 个不同元素，$A$ 恰有五个不同的非零整数，且十个三元 子集的乘积两两不同。令

每个 $a_i$ 在全部十个三元积中出现 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ 次，因此

从而

每个三元子集与其补集中的两个元素一一对应，若三元子集的乘积为 $b$，则补二元 子集的乘积为 $P/b$。所以十个两两乘积的绝对值构成的多重集为

其中绝对值为 $1$ 的两两乘积恰有一个。由于各 $a_i$ 都是非零整数，这说明恰有两个 $|a_i|$ 等于 $1$。其余三个绝对值均大于 $1$，而它们的乘积为 $30$，故这三个 绝对值只能是 $2,3,5$。于是

设 $A$ 中有 $k$ 个负数，则三元子集乘积为负的个数为

集合 $B$ 中有六个负数，逐一检查 $0\le k\le 5$，得 $k=1$ 或 $k=2$。 两个绝对值为 $1$ 的元素必须互不相同，故它们是 $-1$ 与 $1$。若 $k=1$，则 $2,3,5$ 都为正数，其三元积为 $30\notin B$，矛盾。因此 $k=2$。

设 $2,3,5$ 中绝对值为 $d$ 的数是另一个负数，则

而

故只能有 $d=2$。因此