2023 年四川预赛

解答

原图把曲线的左右两端分别标在 $C,B$，故矩形的周向边长为 $2\pi$，高为 $2$。圆柱半径为 $1$。取圆柱轴为 $Z$ 轴、底面为 $Z=0$，把左边缝取在 $(X,Y)=(1,0)$，卷曲后的曲线可参数化为

因此它同时满足 $X^2+Y^2=1$ 和 $Z=X+1$。在平面 $Z=X+1$ 内以 $(0,0,1)$ 为原点，取正交单位基 $(1,0,1)/\sqrt{2}$、$(0,1,0)$，则平面坐标为 $U=\sqrt{2}X,V=Y$，曲线方程是 $U^2/2+V^2=1$。于是离心率为 $\boxed{\sqrt{2}/2}$。