2018 年黑龙江预赛 · 第 17 题

解答

内角范围保证 $\cos ((A-B)/2)>0$，所以第一商为 $\tan ((A+B)/2)=\cot (C/2)$，其分母正。故 $\tan C=\tan (\pi /2-C/2)$。由 $0<C<\pi$ 筛得 $C=\pi /3$。又 $A+B=2\pi /3$，$B-A\in (-2\pi /3,2\pi /3)$，而 $\sin (B-A)=1/2$，仅保留 $B-A=\pi /6$，得到 $\boxed{A=\pi /4,C=\pi /3}$。设正弦定理尺度为 K，则 $a=K\sqrt{2}/2,c=K\sqrt{3}/2,B=5\pi /12$。面积 $ac\sin B/2=K^2(3+\sqrt{3})/16$，故 $K=4$。于是 $\boxed{a=2\sqrt{2},c=2\sqrt{3}}$。