2016 年河北预赛 · 第 10 题

解答

$a_2=c{a}_1$，故 $a_1=4/(1+c)$。在 $n=1$ 时比值条件为 $9=c(2a_1+1)$，代入得 $c^2=9$；因 $c>0$，$c=3$，$a_1=1$。继而 $2S_n+1=3^n$，相邻作差得 $\boxed{a_n=3^{n-1}}$。于是 $b_n=(n-1)3^{n-1}$，对等比项的线性权重求和得 $\boxed{T_n=\frac{3+(2n-3)3^n}{4}}$。例如此公式的首项为零，且其相邻差正是 $(n-1)3^{n-1}$，因而也可直接归纳验证。