2023 年山东预赛

思路

二次式Ax²+Bx+C在A>0且判别式≤0时对所有实数非负。对称二元式常可用v=bc及t=(b-c)²表达，t≥0。

想法从哪来：三变量对称不等式常先试均值，但右边是两两乘积、左边是三个二次因子的积，直接逐项配对不整齐。先固定b、c，将整个差视为a的二次式，若首项系数正且判别式非正，就能一次处理所有a。判别式仍对b、c对称，接着用乘积和平方差作变量，既压缩展开，也把“b接近c”的等号结构显露出来。目标不是只说判别式小于零，而是把其相反数整理成非负项之和，所有系数对正乘积都为正。最后回看分解中的零条件，并在剩下的一元二次式检查a，才能确定全体取等点。

把 $b,c$ 固定后，原不等式是关于 $a$ 的一元二次不等式。验证其首项系数为正，并把判别式的相反数化为关于 $bc$ 与 $(b-c{)}^2$ 的非负和，即可一次性覆盖全部正实数。