培玉 · 一试
2023 年江西预赛
F3填空题不等式的证明
若锐角 满足
则
的最小值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把余弦平方设为三个正数，题设恰好化成和为 ，再连续使用柯西不等式。
解答
令
因 均为锐角，故 ，且题设等价于 。原式为
由柯西不等式，
当 时两次等号同时成立，对应的锐角均存在。因此最小值为
复核
取 时题设成立，原式三项均为 。
方法总结
三角平方和条件常可改写为余弦平方的定和；分母中的 随即变成另外两变量之和。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需选择余弦平方变量把约束变为x+y+z=1，并把每项整理成倒数平方除以相邻和，以柯西把循环错位消去；此后倒数和及等号常规。
已记下，谢谢！