2008 年安徽预赛 · 第 11 题

解答

把平面沿竖直方向伸长$\sqrt{3}$倍，横向保持不变。椭圆变成半径$2$的圆，$A$变成$A^{\prime }=(1,\sqrt{3})$。任意三角形的面积都乘同一因子$\sqrt{3}$：可由三角形面积的底高公式，或把三角形补成平行四边形后按投影验证。因此原题与圆上固定$A^{\prime }$的内接三角形面积最大问题等价。 先证明圆内接三角形的面积最大当且仅当它为正三角形。设外接圆半径$R$，三个内角为$\alpha ,\beta ,\gamma$。由正弦定理及面积公式，

这里$\sin \beta \sin \gamma =[\cos (\beta -\gamma )+\cos \alpha ]/2\le (1+\cos \alpha )/2$，等号当且仅当$\beta =\gamma$。函数$q(\alpha )=\sin \alpha (1+\cos \alpha )$在$(0,\pi )$的导数为

故唯一最大值在$\alpha =\pi /3$，三角均为$\pi /3$。固定圆上一个顶点仍能作出正三角形，所以上界确可取得。 在最大情形中，$B^{\prime }{C}^{\prime }$是垂直于$O^{\prime }{A}^{\prime }$的弦，其中点为$-A^{\prime }/2$，故弦方程为

逆伸缩$y^{\prime }=\sqrt{3}y$，所求为$\boxed{x+3y+2=0}$。该弦与圆有两个交点，逆伸缩后也确为椭圆上的两个不同点。