2016 年天津预赛 · 第 13 题

解答

设底边长为 $a$。底面中心到一边距离 $a\sqrt{3}/6$，所以高为 $(a\sqrt{3}/6)\tan 60^{\circ }=a/2$。由体积 $\sqrt{3}{a}^3/24=9\sqrt{3}$ 得 $a=6$，高三。取 $A=(0,0,0),B=(6,0,0),C=(3,3\sqrt{3},0),P=(3,\sqrt{3},3)$。则 $D=(1,0,0),E=(1/2,\sqrt{3}/2,0),F=(3,2\sqrt{3},3/2)$。因为 $DE\Vert BC$，面 $DEF$ 与面 $PBC$ 的交线 $FG$ 也平行 $BC$；$F$ 为 $PC$ 中点，故 $G$ 为 $PB$ 中点，$G=(9/2,\sqrt{3}/2,3/2)$。梯形两底为 $DE=1,FG=3$。连接两底中点，其向量为 $(3,\sqrt{3},3/2)$，与 $BC=(-3,3\sqrt{3},0)$ 垂直，故梯形高为 $\sqrt{57}/2$。所以 $\boxed{S_{DEFG}=(1+3)\sqrt{57}/4=\sqrt{57}}$。