垫脚石（相关题 → 此题） 2025 年中科大少年班营二 第 3 题 · P009807
先把弦长条件转成中点到圆心的距离条件，再用同心圆盘面积求事件概率。把这个距离阈值改成一般变量，就从单个事件自然推广到半径的完整分布，再由分布求密度。
前题只需判断一个弦长事件，后题需要给出所有阈值对应的概率，并补齐支持区间之外的分布函数。
培玉 · 一试
2025 年中科大少年班营二 · 第 6 题
F2解答题概率
在单位圆盘内均匀随机取一点，并作单位圆的一条弦，使得为该弦中点。定义随机变量。求的分布函数与概率密度函数。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
是均匀圆盘点的半径。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
事件 对应半径为 的同心圆盘，所以分布函数由面积比确定，再求导得到密度。
解答
由于 ， 时 ， 时概率为 。当 时，有利区域为半径 的同心圆盘，因此
故分布函数为
它连续且分段可微，相应的概率密度可取
密度在个别端点处的取值不会改变概率。
复核
；由密度积分得 ，与半径减半、面积变为四分之一一致。圆心与边界圆都无面积，因此 在 没有原子概率。
方法总结
圆盘面积均匀并不表示半径均匀。求径向分布先按面积写累积概率，密度是其导数，端点还要检查有无跳跃质量。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
已具分布函数、密度与定积分：面积比直接给x平方，再内段求导与分段边界核验。
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