2026 年上海预赛

解答

由 $b=3a$ 且 $a,b\in \{1,\dots ,9\}$，有 $a=1,2,3$。固定其中一个 $a$ 后，$b$ 也已确定，且 $a\ne b$。

1. •

   若 $c=a$，四个数码为三个 $a$ 和一个 $b$，有 $4!/3!=4$ 个四位数。

2. •

   若 $c=b$，有两个 $a$、两个 $b$，有 $4!/(2!2!)=6$ 个。

3. •

   其余七个 $c$ 各给两个 $a$ 与另外两个不同数码，每个有 $4!/2!=12$ 个。

固定 $a$ 的方案数为 $4+6+7\cdot 12=94$。 还要检查不同 $a$ 是否重数。若同一个四位数同时适合两个不同的重复数码 $a,a^{\prime }$，它的四位只能恰为两个 $a$、两个 $a^{\prime }$。于是 $3a$ 必须是 $a^{\prime }$，且 $3a^{\prime }$ 必须是 $a$，这对正数不可能。因此三类不相交，所求为