同一骨架 2014 年黑龙江预赛 第 13 题 · P010215
三条互相垂直的棱可作为直角坐标轴，外接球心由三方向的一半位置确定；随后再求这个球心到指定底面的距离，避免把底心与球心混同。
前题三条棱相等，可沿对称轴比较位置；后题三棱不等，要用实际底面法向量，最后还需从球心距离转到球面点的极值。
培玉 · 一试
2025 年新疆预赛
直三棱锥外接球到截面距离最大值
F3填空题空间角与距离
在三棱锥 中，三条棱 两两垂直，且
若点 为三棱锥 的外接球球面上任意一点，则点 到平面 距离的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把三条互相垂直的棱设为坐标轴，外接球球心是三条棱中点坐标的组合。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
球面上一点到固定平面的最大距离等于球半径加球心到该平面的距离。
解答
取
外接球球心与半径分别为
平面 的方程为
所以球心到该平面的距离为
沿平面法向量从球心取球面上离平面较远的一点，即可达到最大距离。因此所求为
复核
球心 到 的距离平方都为 ；平面方程依次通过 。球面沿法向的两个端点到平面的距离为 ，较大者确为 。
方法总结
直三棱锥的外接球适合用空间坐标处理。求球面到平面的最远距离时，不必参数化动点，只需计算“球心到平面的距离加半径”。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
利用三直角构型确定球心后，需把动点最大距离转为球心到平面距离加半径，并说明法向取等。
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