2022 年北京预赛

解答

令 $x=y=z=1$，得

即 $-2{\left(f(1)-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$，故 $f(1)=\frac{1}{2}$。 再令 $y=z=1$，可得 $f(x)\ge \frac{1}{2}$。

对任意 $x\ne 0$，在原不等式中取 $y=1/x,z=1$，得到

由于 $f(x)\ge \frac{1}{2}>0$ 且 $f(1/x)\ge \frac{1}{2}$，上式只能取等号，因此 $f(1/x)=\frac{1}{2}$。这说明 $f(t)=\frac{1}{2}$ 对一切 $t\ne 0$ 成立。 再取 $x=y=z=0$，同样得到 $f(0)=\frac{1}{2}$。所以 $f\equiv \frac{1}{2}$。

于是