2016 年河北预赛 · 第 11 题

解答

（1）$f^{\prime }(x)=(x-a)/x^2$。若 $a\le 0$，在正半轴严格递增；若 $a>0$，在 $(0,a]$ 减、$[a,+\infty )$ 增。（2）乘正数 $x$ 后，条件为 $a<H(x)=2x^3-x\ln x$ 对所有 $x>1/2$ 成立。导数 $H^{\prime }(x)=6x^2-\ln x-1\ge 6x^2-x>0$，这里用了 $\ln x\le x-1$。所以其下确界为 $H(1/2)=1/4+(\ln 2)/2$，但不在原开区间达到。因此所求为 $\boxed{a\le 1/4+(\ln 2)/2}$。