2014 年辽宁预赛 · 第 16 题

解答

写 $A=(u^2/(2p),u),B=(v^2/(2p),v)$。直线 $OA$ 在准线 $x=-p/2$ 上的纵坐标为 $-p^2/u$，又与 $B$ 同高，所以 $uv=-p^2$。这正是焦点弦条件，故 $\boxed{l\text{ 恒过 }(p/2,0)}$。四边形两条水平边长度分别为 $FA,FB$，面积为 $(FA+FB)|u-v|/2$。令 $w=u+v$，有 $|u-v|=\sqrt{w^2+4p^2}$、$FA+FB=(w^2+4p^2)/(2p)$，所以面积为 $(w^2+4p^2{)}^{3/2}/(4p)\ge 2p^2$。等号 $w=0$ 时两点为 $(p/2,\pm p)$，故 $\boxed{S_{\min }=2p^2}$。