2022 年中科大少年班初试 · 第 2 题

解答

设 $g(x)=\sin f(x)$，$h(x)=g(x)-9x/8$。由原式得 $h(x)=h(x/3)/3$。在原域内，$|h(x)|\le 1+9/16=25/16$，所以反复代入给

令 $N$ 任意增大，得 $h(x)=0$，故 $\sin f(x)=9x/8$。因 $|9x/8|\le 9/16<1$，全部函数为

其中 $k(x)$ 在每一点任取整数，唯独 $k(0)=0$，以满足 $f(0)=0$。