易混 2026 年江西预赛 · P006083
有序链上的相邻结构可用两种不同的预算来拆开：倒数差会望远镜成固定和，相邻比值则把端点关系变成固定积。先看目标需要保留哪种乘积，再决定差量还是比值。
前题用部分和的倒数差提取每一段长度；后题用相邻比值编码顺序，取对数后才得到适合凸性的固定和。
培玉 · 一试
2025 年贵州预赛
有序四段相邻和乘积的最小值
F3解答题不等式的证明
对任意满足 的实数 ，记
求 的最小值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
把 的相邻比值作为变量，单调条件变成各比值不小于 ，而乘积固定 为 。
思路
取对数后用凸性可确定四个比值相等。
解答
令
则 且 。直接整理得
令 ，则 。函数
满足 ，故由詹森不等式，
因此
当 ，即
时等号成立。故最小值为
复核
等号点满足 。代入原式与下界一致， 凸性严格也说明内部比值的等号条件唯一。
方法总结
链式有序变量与相邻和的乘积，常用相邻比值把顺序约束化为 ，并让端点 给出固定乘积。对数凸性随后把最值归结为等比链。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
把相邻量之比作为变量后，目标转成固定乘积下的对称式；需要选择合适的均值不等式处理展开项。
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