2022 年新疆预赛

二次无理数的共轭并不只是换一个符号。两题都用共轭建立整系数的递推关系，随后在有限的余数状态中处理末位；涉及取整时，还必须先证明共轭控制的误差始终落在一个单位区间内。

一题先靠小误差去掉取整，另一题直接追踪根式幂的整数系数；模运算开始前的整性依据不同。

远次幂只需所求信息所对应的有限状态。先找一个完整状态回到初值，再按指数的余数定位；把多次相同状态合并，便能避免直接计算大幂。

前题一个幂值就是完整状态；后题必须同时记录两个整数系数的余数，单个系数重复不足以证明后续周期。

两题都把难以直接计算的高次幂，交给一个固定低次代数关系反复降次。对所有根求幂和与对二次根式的两个系数作模递推，都会产生短线性递推；初值及是否取模必须另外说明。

前题的根方程控制幂和，后题的二次根式关系控制系数对，不能把两者的周期或数值直接共用。