2025 年重庆预赛

思路

对数周期变成乘法伸缩：若周期函数 $\Phi (t)$ 以一为周期，则 $x\Phi (\ln x)$ 满足 $f(ex)=ef(x)$。函数趋近零时振幅也趋近零，可用正峰值说明开区间上最大值实际存在。

想法从哪来：振荡藏在对数里，普通平移周期失效，却可以试把自变量乘一个固定倍数。乘自然常数后，对数增加一，正弦走完整周期，函数值只跟着放大同一倍数。于是不同尺度区间的局部峰值可以互相对应，不必逐个解导数方程。 先按完整对数周期把小于一的正峰缩放到最近的一段，较早周期的振幅更小；再比较对应区间中正弦的符号，确认中间区间确实包含相应的正最大值，而多出的尾段只有非正值。最后一个区间跨过周期端点，需要独立判断末端正段的单调性，不能仅凭伸缩关系推断。这样比值中的未知峰值可抵消，只留下一个端点值。

关键是对数周期带来的伸缩关系 $f(ex)=ef(x)$，再判断三个区间中真正可能取正最大值的部分。