同一骨架 2016 年中科大少年班初试 第 10 题 · P010001
两题都把看似宽松的函数差界逐步压成精确的单位增量，再沿整数步长推进。关键是说明哪些约束使不等式被迫取等，而不是先猜函数具有线性表达。
一题比较不同步长走到同一终点的两条不等式链，另一题用整数间隙及单射排除步长换向。
培玉 · 一试
2025 年云南预赛
双向平移不等式确定函数值
F3解答题函数综合
设函数 是定义在 上的函数，且对任意的 ，都有
若 ，求 。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
两个不等式方向相反，而步长 的最小公倍数为 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
分别迭代到同一个点 ，上下界恰好重合，从而所有中间不等式都被迫取等，最终得到单位步长的精确平移关系。
解答
将第一个不等式连续使用三次，得到
将第二个不等式连续使用两次，得到
故对每个 ，必有
第一条不等式链的首尾相等，所以链中每一步均取等，特别地
同理，第二条链给出
把（1）中的 换成 ，再与（2）比较：
因此
对所有实数 成立。由 ，反复使用该式可得
复核
每次迭代均只使用题设对全体实数成立的不等式，不需要连续性或单调性。函数 确实满足两个原不等式且 ，所以所得值相容且可实现。
方法总结
遇到不同步长、方向相反的函数不等式，可先走到两个步长的公倍数处做夹逼。一旦总增量被夹成相等，中间每个同向增量也会被迫取等；再利用步长的整数组合缩短到最大公因数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须把2步下界与3步上界都迭代到6步，迫使全链取等，再合成单位平移关系。
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