易混 2021 年北京预赛 · P006958
两题都先选一个尚未约分的有理数表示，检查同一素数究竟落在分子还是分母，并证明另一侧不含它。只有这一步完成，才能断言约成最简分数后目标素因子仍然保留。
一题删除小数位后追踪分母中的素因子，另一题把有理和放到不含该素数的公分母上，再通过配对控制分子。
培玉 · 一试
2021 年上海预赛
F3解答题数论
设质数 满足 ，且
若
这里的 是互质的正整数。求证： 整除 。其中， 表示不超过实数 的最大整数。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
把每项拆成相邻倒数之差，原和成为一段调和和；这段指标在模 下恰能由 与 两两配对。
解答
写 ，则 。记题中左端为 ，利用
得
模 考察该和。区间 在映射 下保持不变，并且
因 为奇数，没有指标与自身配对，故 。
更严格地，取不含因子 的公分母 ，写 ，上述同余说明 ，而 。把分数约成既约形式 时不可能约去因子 ， 故 。
复核
的质数不是 ，所以 为奇数；又 ，所有模逆元和公分母都合法。
方法总结
证明有理和的既约分子含某质因子，可先选一个不含该质因子的公分母，再在有限域中对分子作配对消去。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先把奇偶裂项和重组为中间连续区间倒数和，利用j与p-j都在该区间配对，再说明约分不消掉分子素因子。
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易混 2024 年吉林预赛 · P006514
两题的有理和都要先拆成便于配对或消去的倒数项，但后续要保留的信息不同。判断最接近的整数需要实数大小界；证明既约分子整除性则需要模素数下的逆元与安全公分母。
不能用近似小数证明分子整除，也不能把模意义下的相消误作实数和为零；两种“消去”发生的环境不同。
已记下，谢谢！