2017 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 11 题

解答

设 $P=(t^2,2t)$，$t\in \mathbb{R}$。直线 $l$ 的方程为

圆 $C_2$ 的圆心为 $M=(4,0)$，半径为 $2\sqrt{2}$。它与 $l$ 有两个不同交点，当且仅当

分别求解两个二次不等式并取交集，得到

又

所以 $P$ 始终在圆外。由割线定理，

当 $-2<t<0$ 时，$0<t^2<4$，因而 $(t^2-2{)}^2$ 恰取遍 $[0,4)$，目标恰取遍 $[4,8)$。 当 $2<t<4$ 时，$4<t^2<16$，$(t^2-2{)}^2$ 恰取遍 $(4,196)$，目标恰取遍 $(8,200)$。 综上，所求取值范围为 $\boxed{[4,8)\cup (8,200)}$。