2009 年辽宁预赛 · 第 7 题

解答

缩放球半径为一，记四顶点位置向量为 $a,b,c,d$，它们模一，成对点积为 $-1/3$。$E=(b+c)/2$。沿 $BO$ 方向 $b$ 去投影，含 $A$ 的半平面方向为 $u=a+b/3$，含 $E$ 的为 $v=(c+b/3)/2$。对 $u$ 与 $2v$，有点积 $-4/9$，两个模平方均 $8/9$，所以所求二面角余弦为 $-1/2$。因此 $\boxed{\angle (A-BO-E)=120^{\circ }}$。