2022 年江西预赛

解答

把单位正方体写成 $[0,1{]}^3$。先考察一条端点为

的棱。若 $PO=8/15,PA=17/15$，设 $P=(x,y,z)$，两距离平方相减得

故 $x=0$，并且

交换远近端点则同理得到 $x=1$。因此条件（1）的全部点，正是在六个面上、以各面四个顶点为圆心、半径 $8/15$ 的四分之一圆弧上的点。

固定底面 $z=0$。任意两个正方体顶点的等距平面与该面的交线，去除不相交者后，由正方体对称性可归入

考察以 $(0,0)$ 为圆心的四分之一圆

它与式 (2) 中的等距线共有 $7$ 个交点：两坐标轴上各一个，与 $x=1/2$、$y=1/2$ 各一个，与 $x=y$ 一个，与 $x-y=1/2$、$y-x=1/2$ 各一个。其余列出的直线不与该四分之一圆相交。四个角的圆弧情形完全相同，所以先得到 $4\times 7=28$ 个计数。

相邻两个角的四分之一圆在该面内恰有一个公共交点，四条边方向共造成 $4$ 次重复；对角的两圆因圆心距为 $\sqrt{2}>16/15$ 而不相交。因此一个面上共有

个点。其中每条面边上有两个点，共 $8$ 个边界点；其余 $16$ 个在该面的相对内部。

六个面的相对内部点互不重复，共有 $6\times 16=96$ 个。正方体每条棱上恰有两个上述点，十二条棱共给出 $12\times 2=24$ 个不同点；这些点已分别作为两个相邻面的边界点，不再重复相加。故所求总数为