2023 年福建预赛

解答

同奇偶的两个不同整数之差是偶素数，只能为二；同一奇偶类不可能有三个元素，否则最大最小之差为四。因此 $n\le 4$，结合题设，恰有四元素、每种奇偶各二个。 可将它们写为 $\{r,r+2,s,s+2\}$，不妨 $r<s$，$w=s-r$ 为正奇数。跨类差的绝对值要求 $|w-2|,w,w+2$ 都是素数。$w=1,3$ 都产生差一，排除；对 $w\ge 5$，三个相邻奇数中有一个被三整除，必须等于三，只能 $w-2=3$，故 $w=5$。 于是全部集合形如 $\{r,r+2,r+5,r+7\}$。它含二千零二十三当且仅当 $r=2023,2021,2018,2016$，四集合不同，故 $\boxed{4}$ 个。