培玉 · 一试
2022 年山东预赛
将 个 的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分；将这 部分接于一个边长为 的正六边形边上。若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
平面面是刚性的，两个不同面不能共享两条相交边，否则重合。立方体中心反射保持体积并把中央平面两侧互换，可用于平分体积。
想法从哪来：展开图先别从正六边形边长套一个熟悉棱锥体积，要查剪出的两类面如何接起来。三个五边形才含最长的边，因此这些边的配对强迫三块五边形两两相邻；各面中两长边互相垂直，复原后便得到三条正交棱。用它们作坐标轴，五边形斜边的六个端点落在同一平面，正好构成给定六边形，另外三块小三角形补足对面的角。这样才识别出原立体是立方体被中央平面截出的一半。通过立方体中心的截面由中心反射交换两侧，体积直接平分，但前提是先把面和边的匹配完整核对。
先按边长还原三个五边形面的邻接。它们的长边构成三条互相垂直的棱，剩余面便对应一个立方体被中央平面截下的一半。
解答
每个正方形剪下一个两直角边均为 的等腰直角三角形，余下五边形有两条相邻且互相垂直的 长边、两条 长边和一条 长边。六块都沿 边接到正六边形上。
复原多面体时，只有三个五边形含有长为 的棱，所以这些棱只能在三个五边形之间配对。两个不同平面面不能共用两条相交棱，否则它们是同一平面。因而三个五边形两两各共用一条 长棱。这三条棱相交于同一点，且两两垂直。
以共同顶点为原点，三条棱作正交坐标轴，其端点为 。三个五边形便落在三个坐标面上；例如 上的面是正方形 被 截得的五边形。 三个五边形的斜边端点为
同在平面 上，依次构成边长 的正六边形。其余六条长为 的棱与三个三角形的直角边配对，补成 上的三个三角形面。 所以该多面体为
立方体中心反射 交换截平面两侧，故两侧体积相等。所求为
复核
三对长为 的棱已经分别确定三组五边形的公共平面交线，两个五边形不能再共用额外的短棱；因此六条五边形短棱恰与三角形的六条直角边匹配，不是只展示一个可能模型就断言唯一。截平面经过立方体中心 ；六个截点相邻距离均为 ，与给定正六边形尺度一致。
方法总结
展开图反求体积时，先利用各类边长的配对确定面与面的邻接，再还原正交棱。具有中心对称的原立体可用中央截平面直接平分体积。
为什么评为 F4 · 本站估计（会透露解法方向）
需从六块面的不同边长配对还原三个互相垂直的长棱，验证其余面构成中央截立方体，再用中心对称求体积，不能只给未证唯一的示意模型。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：建直角坐标系解几何题、割补法求体积
已记下，谢谢！