培玉 · 一试
2026 年北京预赛
设直线 与椭圆
交于 两点，过椭圆的右焦点 作直线 交椭圆于 两点。 则当四边形 的面积最大时，直线 的斜率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
平面向量叉积 ，凸四边形面积等于对角线叉积绝对值的一半。二次方程两实根之差的绝对值为判别式平方根除以首项系数的绝对值。
想法从哪来：面积的四个顶点并非都独立：一条对角线已固定，而且经过椭圆中心。先将四边形面积写成两条对角线向量的叉积，动弦只需保留垂直于固定对角线的投影长度，不必分别求两个三角形的高。 过焦点的直线可以用横坐标随纵坐标变化的形式参数化，这样竖直线也直接包括在内。代入椭圆后得到二次方程，所需投影恰与两根差有关，可由判别式一次求出。求有理函数极值时要比较所有驻点和无穷远极限；被参数化遗漏的水平线也由该极限单独核对，才算全局最大。
是过椭圆中心的固定弦，四边形面积可用两条对角线向量的叉积表示。 把过焦点的动直线写成 ，韦达定理可直接给出弦 的坐标差。
解答
由 与椭圆方程联立，设
椭圆的右焦点为 。除直线 外，把过 的直线写成
设 的纵坐标分别为 。代入 ，得到
由根差公式，
又 。利用四边形两条对角线的叉积，
因此面积的平方除去正常数后等于
直接求导可得
二次式 的判别式为 ，恒为正。因此 在 上递增，在 上递减，在 上递增。 并且
故全局最大值唯一在 处取得。被参数式遗漏的直线 正对应 ，不会取得最大值。
当 时，，即
所以所求斜率为
复核
根差中的判别式为 ，始终为正，故每条所考虑的直线确与椭圆交于两点。 面积最大点 对应有限非退化弦；同时比较了参数端点 的极限值。
方法总结
固定一条过中心的对角线时，四边形面积只取决于另一条弦在垂直方向上的投影。 对过定点的椭圆弦，选取避免无穷斜率的参数式并用韦达求根差，可把几何最值化成一个有理函数的全局最值。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
要把四边形面积化成两条对角线的叉积，结合焦点弦根差得到斜率函数，再处理驻点和参数化遗漏方向。
已记下，谢谢！