2023 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 6 题

解答

由韦达定理，$a+b=b/a$，$ab=c/a$，故

由 $0<a<b$，得到 $1/2<a<1$。此时 $c=a^{2}b<b$，且 $a<b$，故 $b$ 为最大边。 三数构成三角形当且仅当 $a+c>b$，即

由于 $1-a>0$，此式等价于

从而 $a^2+a-1<0$。结合已有范围，得

反过来，任取此区间内的 $a$，按上述公式定义 $b,c$，各项已知条件均成立。因此参数区间没有多余限制。 又

函数 $x+x^2+x^3$ 在正半轴连续且严格递增。由 $r^2=1-r$，$r^3=2r-1$，所求范围为