2014 年安徽预赛 · 第 2 题

解答

记 $A=2013x,B=2014x,C=2015x$，则 $A+C=2B$，原定义域要求 $\cos A\cos B\cos C\ne 0$。在此域内，

由 $\cos (B-x)\cos (B+x)={\cos }^{2}B-{\sin }^{2}x$，括号化为 ${\cos }^{2}B+{\sin }^{2}x>0$。故零点当且仅当 $\sin 2014x=0$，候选为 $x=k\pi /2014$，$k=0,\dots ,2014$，共2015个。 在这些候选处，$\cos B=\pm 1$，且 $\cos A\cos C={\cos }^{2}x$。只有 $x=\pi /2$ 对应 $k=1007$ 使原分母为零，应删去。其余均合法，所以零点个数为 $\boxed{2014}$。