培玉 · 一试
2010 年安徽预赛 · 第 11 题
F3解答题平面几何综合
（22 分）已知 的三边长度各不相等， 分别是 的角平分线与边 的垂直平分线的交点。求证： 的面积小于 的面积。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
角平分线与对边中垂线的交点，是原外接圆上对应弧的中点。
思路
这样两个三角形共用外接圆，面积比较可转成三个半角正弦的乘积。
解答
设原三角形内角为A、B、C，外接圆半径为R。弧BC上不含A的中点既在A角平分线上，又在BC中垂线上。因AB≠AC，这两条线不重合，所以它就是D；E、F循环同理。由各弧的长度，
对于外接圆半径相同的三角形，面积为 乘三个内角正弦之积，故
函数 在 上二阶导数为 。严格凹性及三个半角之和为π/2给出
等号当且仅当A=B=C。题设三边两两不等，排除等号，因此
复核
弧中点交点唯一性用到了相邻两边不等；等边情形面积会相等，严格条件确实必要。半角都位于正弦对数的定义区间，面积比的分母严格为正。
方法总结
角平分线与中垂线交点先识别弧中点；共圆三角形面积之比可借角的正弦乘积比较，并核等号是否被原条件排除。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
角平分线与对边中垂线的交点先识别为外接圆弧中点，再把共圆三角形面积比化为半角正弦乘积；借严格凹性比较并用三边不等排除等号。
已记下，谢谢！