培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题数列的和
a₁=3，aₙ₊₁=aₙ²。求Σₖ₌₁∞1/(aₖ-1)是否收敛，并给出严格上界1。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
双指数增长至少给几何级数控制。
解答
a_k=3^(2^(k-1))，且2^(k-1)≥k，故a_k≥3^k。于是1/(a_k-1)≤1/(3^k-1)≤(3/2)3^-k。总和≤(3/2)·(1/2)=3/4<1，因此绝对收敛且满足所求界。 所求为 。
复核
从k=1起不等式有效，分母全正；不冒称3/4为精确和。
方法总结
双指数增长至少给几何级数控制。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
双指数增长至少给几何级数控制。
已记下，谢谢！